Доброго дня, уважаемые гости и подписчики!
Сегодня хотел бы осветить тему использования тригонометрии в строительстве, так как математика очень тесно взаимодействует с этой сферой.
Величины углов и сторон любого будь-то равнобедренного, равностороннего или разностороннего треугольника связываются между собой определенными тригонометрическими соотношениями, основные из которых выделяют как «теорема синусов» и «теорема косинусов».
Благодаря великим математикам древних времен, выведены формулы, позволяющие по ТРЁМ элементам ЛЮБОГО треугольника — ВОССТАНОВИТЬ остальные три!
Далее немного теории из школьного курса (очень кратко):
Значения длин сторон треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
Она обобщает теорему Пифагора на произвольные треугольники, таким образом теорема Пифагора — становится частным случаем теоремы косинусов.
Так, для любого треугольника, справедлива зависимость:
После преобразований, мы можем найти косинус любого угла треугольника:
и установить следующее:
И если угол является прямым (второй случай), то теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.
После значительных раскладок и преобразований доказывается «формула Герона», по которой зная только стороны треугольника, мы можем вычислить площадь:
Выше приведенные соотношения и вычисления используются там, где требуется расчет каких-либо элементов со значительными размерами, которые невозможно измерить угломерными линейками или доставляет много неудобств использование рулетки.
Примеры задач, решаемых с помощью таких теорем
Зная длину ската и угол наклона кровли мы можем получить остальные значения всех составляющих элементов, будь то высота кровли до конька или длина здания:
И наоборот, зная угол наклона кровли и длину здания с кровельным свесом — высчитывается в пару действий как длина стропильных ног, так и высота крыши:
А точная высота дома? — Да не вопрос!
?/Sin40° = 10/Sin50°
? = (10 х Sin40°)/Sin50° = 10 х 0,643 : 0,766 = 8,4 м.
Определение угла наклона ската
Определить угол наклона ската с точностью до 1 градуса с земли тоже совершенно не напрягаясь можно сделать: для этого требуется занять положение наблюдателю так, чтобы плоскость ската легла в одну линию с линией направления взгляда.
Теперь зная высоту дома (a) и расстояние (b), а соответственно по теореме Пифагора и гипотенузу (с), мы можем посчитать величину синуса или косинуса угла А (формула на рисунке выше).
Далее таблица Брадиса в помощь! ))) Находим значение в колонке Синуса и сопоставляем с соответствующим углом!
Так же решаются задачи с устройством фронтонов в скат основной кровли (рисунок ниже)! Зная только угол наклона основной кровли, мы можем рассчитать длины стропил и основание врезаемого фронтона, чтобы углы были равны между собой!
Для возведения зданий и различных сооружений с помощью таких формул рассчитывается разница высот на участке, а так же углы в разных плоскостях с помощью геодезических приборов, работающих на основании той же тригонометрии — теодолит, тахеометр и тригонометрический нивелир.
И это лишь малая часть приведенных примеров, где нужны знания тригонометрии…
Похоже учителя были правы, когда говорили, что «Математика пригодится!!!» ))).
На этом всё, спасибо Вам за внимание!
